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La Insondabilidad del Ajedrez

por PAU PASCUAL  10 de MAYO de 2012

«Imaginaros una minúscula hormiguita desplazándose en línea recta. La hormiguita recorre el ecuador de una esfera de hierro macizo del tamaño de la tierra.Imaginaros el tiempo que tardará en dar una vuelta completa y volver al punto de partida. Después de muchos millones de vueltas, podrán observarse unos sutiles puntitos: pequeñas huellas que las patitas de la hormiguita han ido dejando a lo largo del ecuador de la esfera de hierro. Al cabo de mucho, mucho tiempo, se irá creando un estrecho surco, que con el tiempo será cada vez más profundo. Pasado un tiempo inimaginable la esfera de hierro se partirá en dos… Pues bien, la eternidad es muchísimo más larga » (Reconstrucción de la respuesta de un profesor de primaria cuando un compañero de clase preguntó: “¿Qué es la eternidad?”).

 

 

Resulta difícil imaginar números muy grandes. Uno tiene una idea del valor de un euro (un café), de mil euros (un sueldillo), de trescientos mil euros (un piso)… Pero la diferencia entre cien mil millones de euros y un billón de euros ya queda fuera de nuestro alcance.

 

Resulta imposible imaginar números que van más allá de nuestras referencias. Recuerdo que en un capítulo de la serie Cosmos, Carl Sagan explicaba que, en 1938, el matemático Edward Kasner trabajaba con un número muy grande: diez mil hexadecillones. Dicho de otra forma, diez elevado a cien, un uno seguido de cien ceros. Kasner le pidió a su sobrino que diera un nombre a este número y el niño lo bautizó como “Gúgol” (de ahí proviene Google ).

 

Página del libro de Sagan donde aparece el Gúgol

 

Vayamos al ajedrez. El ajedrez es un universo finito y limitado. A primera vista no parece muy grande. El escenario lo forma un espacio bidimensional de solo 64 casillas.

Los actores son dieciséis piezas blancas y dieciséis piezas negras de las cuales la mitad son peones. Hay seis tipos de piezas con movimientos diferentes: rey, dama, torres, alfiles, caballos y peones. Luego hay algunas reglas particulares como las tablas por repetición de jugadas, el enroque, la captura al paso o la coronación. Y eso es todo. Sin embargo, el número de acontecimientos que pueden producirse en ese pequeño espacio es monstruoso, por llamarlo de alguna manera. (Tendré que buscarme a un sobrino para que bautice “eso”).

 

Comencemos con el escenario: el tablero. Muchos habréis oído la famosa leyenda de los granos de arroz (o de trigo) de la cual hay muchas versiones, pero todas narran más o menos lo mismo: Hace mil quinientos años, Kaid, un poderoso rey de la India, después de haber logrado todo lo que deseaba en la vida, terminó en un estado crónico de aburrimiento y tristeza. Kaid le pidió al sabio Sassa Ben Dahir que lo ayudara y éste inventó un juego para el rey: el ajedrez. El rey Kaid aprendió rápidamente, se entusiasmó y salió de su letargo. ─¿Cómo puedo recompensarte? ─le dijo. ─Su Majestad, ─respondió el sabio ─todo lo que pido es esto: coloquen un grano de arroz en la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda casilla, cuatro granos en la tercera casilla y así, doblando los granos de arroz sucesivamente hasta llenar las 64 casillas─. Aunque al rey Kaid le pareció razonable, nunca podría llegar a cumplirlo.

 

 

De acuerdo a lo que pidió Sassa, en la última casilla debería haber 263, que son 9.223.372.036.854.775.808 granos de arroz. Sumados a los del resto del tablero serían exactamente 18.446.744.073.709.551.615 granos de arroz, que equivalen más o menos a dos mil años de la cosecha mundial de este cereal.

 

Bien, añadamos ahora al tablero las piezas y las reglas del juego. Preguntémonos, por ejemplo, ¿Cuántas partidas de ajedrez diferentes se pueden llegar a jugar?

Cuando empieza una partida, las blancas eligen uno de entre veinte movimientos posibles:

 

 

A continuación las negras tienen veinte opciones de respuesta, cualquiera que haya sido el movimiento de las blancas. Es decir, después de la primera jugada de blancas y negras, pueden surgir 20×20=400 posiciones distintas. Tras dos jugadas más, el número de posiciones posibles crece hasta unas 20.000. Después de las diez primeras jugadas, la cifra ya es descomunal: 165.518.829.100.544.000.000.000.000 posibles posiciones.

 

Ya en 1708, el matemático francés J. Ozanam, en su libro Recreations Mathematiques et Phisiques afirmaba: «Un método infalible de vencer al ajedrez no es teóricamente imposible. Sin embargo, nadie, hasta el presente lo ha descubierto, y creo que nunca se descubrirá, porque implicaría manejar un número demasiado elevado de combinaciones»

 

Claude Shannon, ingeniero y matemático estadounidense, es recordado como «el padre de la teoría de la información ». Entre otras cosas, en 1950 publicó un artículo donde bosquejaba los algoritmos básicos para desarrollar un programa que jugara al ajedrez. Y de hecho, la mayoría del software de ajedrez actual, se basa en estos principios (ver el artículo original de Shannon Programming a Computer for Playing Chess, en PDF).

 

Claude Shannon hizo un cálculo del número total de partidas posibles, que formarían el árbol completo del juego del Ajedrez. Obtuvo la cifra de 10120 , es decir:

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 partidas de ajedrez distintas. (Actualmente se estima que este número es “algo” mayor: 10123 ).

 

El número de Shannon es un número bestial, muchísimo más grande que un Gúgol.

 

Volvamos a nuestra entrañable hormiguita. Imaginemos que además de longeva e incansable, es inteligente y conoce las reglas del ajedrez. Para entretenerse en su largo camino, juega mentalmente contra sí misma una partida cada hora, desde que empezó su recorrido hasta hoy. Imaginemos que la hormiguita empezó su viaje cuando ocurrió el

Big Bang . Actualmente se estima que la edad del universo es de unos 13.700 millones de años. O sea, que desde el Big Bang hasta hoy, nuestra hormiguita lleva jugadas unas 1014 partidas de ajedrez, un número que da risa al lado del número de Shannon. De poco nos sirve esta referencia, pues, para hacernos la idea.

 

Ampliemos la comparación. Tomemos el grano de arroz que el rey Kaid puso en el primer escaque.

 

Grano de arroz (Oryza sativa)

 

Un grano de arroz está compuesto aproximadamente unos de 1015 átomos (cero más, cero menos). Un número comparable a las partidas que la hormiguita ya ha jugado. Para un kilo de arroz hacen falta sobre unos 30.000 granos. Imaginemos, si podemos, el número de granos de arroz que caben en nuestro sol. Muchos. Sólo en nuestra galaxia ya hay unos doscientos mil millones de soles, pero esto no es nada, teniendo en cuenta que en el universo observable se estima que existen más de cien mil millones de galaxias repletas de soles.

 

A la izquierda, el sol. En el centro, Andrómeda, nuestra galaxia vecina (visible a simple vista si nos alejamos de las luces de la ciudad). A la derecha, una ínfima porción del universo: el cúmulo Abell-1703 (a unos tres mil millones de años luz de la tierra) formado por miles de galaxias.

 

Pues bien, la estimación actual del número total de átomos que hay en el universo oscila entre 1072 y 1087. Una ridiculez si lo comparamos con el número de Shannon.

 

De las 10120 partidas posibles de Shannon, habrá muchísimas sin ningún interés, algunas más o menos coherentes, y un porcentaje muy pequeño de buenas partidas. Por poner un número cualquiera, imaginemos que por cada cien mil billones de partidas posibles, hay una buena partida. Esto significaría que habría 10103 partidas buenas, lo cual nos indica que el potencial de belleza del ajedrez es inagotable y que, por tanto, queda un número inimaginable de buenísimas partidas que nunca se han jugado, la mayoría de las cuales, dicho sea de paso, nunca se llegarán a jugar, puesto que la humanidad habrá desaparecido muchísimo antes.

 

El número de partidas posibles es sólo un ejemplo de la vertiginosa profundidad de este juego. Se han hecho también otros cálculos interesantes como el número de posiciones que pueden obtenerse en el tablero con 2 o más piezas.

 

Reduzcamos el mínimo el número de piezas que puede haber en un tablero: dos reyes. Podemos poner un rey en a1 y el otro en a3, podemos poner un rey en b8 y el otro en f4 … Y así hasta conseguir el total de posiciones posibles. La solución es que los dos reyes pueden situarse en el tablero en 3.612 posiciones diferentes.

 

Añadamos ahora un peón. En el tablero pueden darse 163.328 posiciones diferentes con dos reyes y un peón. Con dos reyes y tres piezas más, podemos obtener unos cuatrocientos millones de posiciones. Con las 32 piezas sobre el tablero se ha calculado que pueden lograrse 7.534.686.312.361.225.327.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 posiciones distintas.

 

El ex campeón del mundo y matemático Max Euwe calculó que si doce mil ajedrecistas estuvieran ocupados constantemente en la búsqueda de las mejores jugadas en todas las posiciones imaginables y en cada una de ellas invirtiera una décima de segundo, necesitarían más de un trillón de siglos para analizarlas todas.

 

Hasta aquí hemos hablado de la inmensidad del ajedrez a nivel cuantitativo. Pero este simple juego también nos sorprende cuando enfocamos estos números a nivel cualitativo. El juego ajedrez se rige por una geometría propia, que desafía a la racional geometría euclidiana. Para dejar una pincelada, tomaremos como ejemplo el movimiento del rey (la pieza que se mueve de forma más simple).

 

En la geometría euclidiana, un triángulo rectángulo cuyos catetos son de ocho unidades, tiene una hipotenusa de poco más de once unidades.

 

 

Contrariamente, en el ajedrez, el rey necesita el mismo número de movimientos para recorrer un lado (un cateto) que para recorrer la diagonal completa (la hipotenusa). Así pues, la diagonal no mide once escaques sino que mide ocho escaques, los mismos que un lado del tablero. Esto da lugar a situaciones y combinaciones que desafían la lógica a la que estamos acostumbrados.

 

 

Siempre hemos oído que en un plano, el camino más corto entre dos puntos es una línea recta. En el ajedrez, hay muchos caminos más cortos. Veamos. El trayecto más corto para que el rey vaya desde e1 hasta e8, es de siete jugadas yendo en línea recta. Hasta ahí entra en lo racional. Lo sorprendente es que hay 393 maneras de ir de e1 a e8 en siete jugadas, es decir, 393 caminos más cortos para recorrer la misma distancia!

 

 

A la izquierda, vemos como ejemplo, dos posibles caminos para ir de e1 a e7 en siete jugadas. A la derecha, se muestra el mapa completo de recorridos según el cálculo de Karl Fabel, matemático y compositor de problemas de ajedrez. Los números indican los movimientos posibles para llegar a cada casilla desde e1 con el mínimo de movimientos. Por ejemplo, para ir a d2 con una jugada, solo se puede llegar de una manera. A e3 se puede llegar de tres maneras en dos jugadas: pasando por d2, por e2 o por bien por f2. A c6, se puede llegar de treinta maneras en cinco movimientos. A e8, podemos llegar con 393 recorridos distintos en siete movimientos.

 

(Para profundizar más sobre este tema, ver en Google Books el libro Ajedrez y matemáticas, de E. Bonsdorff, K. Fabel y O. Riihimaa).

 

Traduciendo esto a una combinación de ajedrez real, veamos un hermoso final de rey y peones compuesto por Richard Reti, donde se pone claramente de manifiesto este particular concepto geométrico del ajedrez.

 

En la posición de Reti, las blancas juegan y consiguen unas tablas contra todo pronóstico:

 

 

A primera vista, el jugador de las blancas debería abandonar. Si el rey blanco intenta perseguir al peón negro nunca lo podrá atrapar y el peón acabará convirtiéndose en dama. (1.Rh7 h4 2.Rh6 h3 2.Rh5 h2 2.Rh4 h1=D). En cambio, si las blancas optan por avanzar su peón, el rey negro lo captura rápidamente (1.c7 Rb7 2.c8=D+ RxD).

 

Parecerá increíble, pero gracias a la peculiar geometría del ajedrez, el rey blanco puede acercarse a los dos peones a la vez. La solución empieza con 1.Rg7!.

A partir de aquí las negras pueden optar por dos planes: acercarse con su rey al peón blanco para capturarlo, o bien avanzar su peón negro hacia la coronación. Veamos como las blancas consiguen las tablas en ambos casos:

 

a) Variante con 1…Rb6 (acercamiento del rey negro al peón blanco)

 

b) Variante con 1…h4 (avance del peón negro)

 

En el estudio de Reti, vemos como las negras tienen varios caminos, pero todos llevan a una la posición final de tablas. Las negras no son capaces de ganar en ninguna de las variantes, puesto que el rey blanco es capaz de controlar los dos distantes peones a la vez.

 

Ya hemos visto que los caminos del rey pueden ser misteriosos. Podríamos preguntarnos ¿De cuántas maneras un rey puede pasar por todos los escaques del tablero sin pasar dos veces por una misma casilla? Hay muchos caminos, pero como curiosidad final, veamos un recorrido ideado por I. Ghersi, en el cual los números de cada casilla que definen el orden del recorrido forman un cuadrado mágico. Los ocho números colocados en las casillas de todas las filas, de todas las columnas y de las dos diagonales mayores, dan siempre la misma suma: 260. Un hermoso camino.

 

 

No es de extrañar que a lo largo de la historia, grandes matemáticos hayan experimentado en el fértil terreno del ajedrez. Por citar algunos: Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Abraham De Moivre, Adrien-Marie Legendre, Henry Dudeney, Lewis Carroll…

 

Matemáticos ajedrecistas: Euler, Gauss, De Moivre, Legendre, Dudeney y Carroll

 

Y a la inversa, reconocidos ajedrecistas de élite, fueron a su vez destacados matemáticos: Adolf Anderssen, Wilhelm Steinitz, Emanuel Lasker, Max Euwe, Mikhail Botvinnik, y más recientemente, John Nunn.

 

Ajedrecistas matemáticos: Anderssen, Steinitz, Lasker, Euwe, Botvinnik y Nunn

 

Infinito, no. Eterno, tampoco. Pero comparándolo con nuestra escala, con nuestro universo y con nuestra inteligencia e imaginación, podemos afirmar que el ajedrez es inagotable. Siempre se podrá descubrir algo nuevo, siempre nos seguirán sorprendiendo pequeños retazos de su enorme belleza escondida que nunca acabaremos de conocer.

 

 

Fuente: Libro de Notas